1 引言
近年來，光學自由曲面在學術(shù)界被炒的火熱，很多光學系統(tǒng)中都報道了自由曲面的應用。然而，到底什么是自由曲面，它的優(yōu)點是什么，可能很多人還不清楚。隨著自由曲面的應用逐漸普及，我們有必要對它有一個較為客觀的認識，從而在工作中做到備無患。在本篇中，我們將對光學自由曲面的概念和常用的曲面類型做通俗的介紹，來讓大家對這一概念有一些基本的認識。
2 光學自由曲面的定義
首先從常見的光學表面說起，常見的光學表面，包括平面、球面、旋轉(zhuǎn)對稱的非球面和柱面等，這類表面都不屬于自由曲面的范疇。按照自由曲面的定義，自由曲面是指不具有軸旋轉(zhuǎn)對稱或平移對稱約束的光學曲面，如此以來，自由曲面的一大特點就是不對稱，不以某個旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)對稱，也不以某個截面對稱。
自由曲面最早應用在照明領(lǐng)域，隨著單點金剛石車削工藝的發(fā)展，人們可以制造出各類曲面的模具出來，有了模具，就可以通過模壓或者注塑的工藝，生產(chǎn)出滿足要求的光學曲面。與傳統(tǒng)的元件相比，自由曲面有更多的參數(shù)自由度，因此可以實現(xiàn)更緊湊的空間、更大的光學視場和更少的系統(tǒng)重量，對于光學系統(tǒng)的功能擴展起到了促進作用。在光學成像領(lǐng)域，自由曲面在天文觀測和空間光學系統(tǒng)中有較多的應用，在一些手機鏡頭中，也加入了自由曲面的元件，以達到矯正像差的效果。
3 光學自由曲面的常見類型
用于光學成像的自由曲面，通常并不是毫無規(guī)律的曲面，而是有方程和參數(shù)去定義和描述的，在本節(jié)中，我們介紹實際中常見的光學自由曲面的類型。
A、離軸非球面
按照自由曲面的定義，從旋轉(zhuǎn)對稱的非球面上，偏軸切下來的一塊非球面，即我們通常所說的離軸非球面，就屬于自由曲面的范疇。離軸非球面的形狀可以是圓形的，也可以是方形的。
離軸非球面，是在原來非球面方程的基礎上，多了一個離軸量或離軸角的指標，它可以通過數(shù)控研磨和拋光的方式做加工。
B、復曲面（TORUS）
復曲面又稱為輪胎面，它的形狀就像是從汽車輪胎上取下的一塊區(qū)域一樣，在X和Y兩個方向上都是曲面，在兩個相互垂直的截面上，有兩個不同的曲率半徑值。在光學系統(tǒng)中，復曲面具有獨特的用途，如作為變形系統(tǒng)中的變形光學元件，或者紅外熱像儀中的掃描元件等，在極紫外光譜儀中，復曲面作為前置鏡，可以收集到更大的光通量，一個復曲面的形狀如下圖所示：
設定曲面在水平X方向的曲率半徑為Rx，二次系數(shù)為Kx，在水平Y(jié)方向的曲率半徑為Ry，二次系數(shù)為Ky，則復曲面的表達式可表示為：
C、XY 多項式自由曲面
XY多項式通常是在非球面的基礎上，增加x和y的多項式方程而得到的曲面，多項式方程的形式可以是任意的，包括線性、二次、三次以及更高階的多項式。這種曲面的方程通常多個參數(shù)來控制，通過改變參數(shù)的取值可以得到不同形狀的曲面。
D、Zernike多項式自由曲面
我們在前面的文章中，詳細介紹過Zernike 多項式的概念(光學元件的面形誤差（二） Zernike與Chebyshev多項式分解)，Zernike多項式的基函數(shù)在單位圓域內(nèi)是連續(xù)正交完備的，它的各項與光學檢測中的像差形式對應，并且正交性的存在使得各種像差系數(shù)的大小與擬合使用的項數(shù)無關(guān)，以上性能使得它是自由曲面較為理想的表述方式，被廣泛地應用于成像光學設計中。 以二次曲面上疊加 Zernike 多項式得到的口徑為 D 的自由曲面，其矢高表達式如下：
式中，第一項為二次曲面部分，k 為圓錐常數(shù)，c為曲率，r為x和y的平方和之根，第二項為Zernike多項式部分，Ai為Zernike多項式系數(shù) ，Zi為Zernike多項式 ，ρ為歸一化半徑，即 r/(D/2)，φ 為幅角。
E、Q 多項式自由曲面
Q 多項式自由曲面是由美國 QED 公司的 Forbes提出的一種自由曲面,它是從 Forbes提出的旋轉(zhuǎn)對稱 Q 多項式曲面發(fā)展而來。它的面形系數(shù)可以直接用來表征曲面相對于最佳擬合球面的矢高偏差梯度,可以用于自由曲面的公差分析,使光學設計和加工檢測難度的評價可以同時進行,從而避免了設計后再進行加工評價的繁瑣過程。Q多項式的表達式如下：
F、非均勻有理B樣條自由曲面(Non-Uniform Rational B-Splines, NURBS)
NURBS曲面通過控制頂點網(wǎng)絡、基函數(shù)以及各點的權(quán)重來描述曲面,是一種參數(shù)化的描述曲面方式。它是國際標準化組織頒布的工業(yè)產(chǎn)品的數(shù)據(jù)交換標準 STEP中,定義工業(yè)產(chǎn)品幾何形狀的唯一數(shù)學方法。調(diào)節(jié) NURBS的每一個控制點或者其權(quán)重只影響該點附近的面形，因而NURBS也是一種局部面型可控的自由曲面。該種曲面的表達式較復雜，如下式所示：
NURBS的性質(zhì)優(yōu)良,在照明領(lǐng)域已有成功的應用。但是其變量數(shù)太多使得其光線追跡極為復雜，追跡時間長、難以優(yōu)化，目前在成像領(lǐng)域中的應用較少。
4 結(jié)語
在本文中，我們對光學自由曲面的定義和常見的類型做了介紹，自由曲面是不具有軸旋轉(zhuǎn)對稱或平移對稱約束的光學曲面，因此無法用傳統(tǒng)的平、球面加工方法來加工，但由于它可以具備更多的設計自由度，因此在對光學系統(tǒng)的尺寸和非成像性能要求越來越高的場合得到了較多的應用。文中介紹了光學自由曲面的常見類型，包括離軸非球面、復曲面、XY 多項式自由曲面、Zernike多項式自由曲面、Q 多項式自由曲面和NURBS自由曲面等，以使得大家對這些自由曲面的表達式有初步的了解。
