摘要 ：該文在齊次坐標(biāo)的形式下，推導(dǎo)了平移矩陣和旋轉(zhuǎn)矩陣，對(duì)多軸聯(lián)動(dòng)系統(tǒng)任意關(guān)節(jié)處的位置和姿態(tài)變化進(jìn)行數(shù)學(xué)建模?；诒容^器組件、計(jì)數(shù)器組件和生成器組件構(gòu)建了反饋形式的 RTPA 算法，用于多軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控系統(tǒng)加工過程中的實(shí)際控制，并對(duì)采樣頻率的影響進(jìn)行了分析。最后以曲面仿真加工為例進(jìn)行試驗(yàn)研究，試驗(yàn)結(jié)果表明 ：在 RTPA 算法的控制下，多軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控系統(tǒng)可以有效地完成曲面加工。
關(guān)鍵詞 ：多軸聯(lián)動(dòng) ；數(shù)控系統(tǒng) ；曲面加工 ；RTPA 算法
制造業(yè)的集成化水平、自動(dòng)化水平，已經(jīng)成為衡量一個(gè)國(guó)家科技實(shí)力的重要標(biāo)準(zhǔn)。我國(guó)是制造業(yè)大國(guó)，涵蓋了世界上絕大多數(shù)的機(jī)械加工門類 [1]，其中的數(shù)控技術(shù)和數(shù)控系統(tǒng)發(fā)揮了非常重要的作用。對(duì)各種復(fù)雜類型的機(jī)械加工任務(wù)，只有具備更多軸數(shù)聯(lián)動(dòng)的數(shù)控加工技術(shù)和方法，才能更高效率地將其完成 [2]。因此，多軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控系統(tǒng)的設(shè)計(jì)以及多軸聯(lián)動(dòng)的數(shù)控加工方法已經(jīng)成為判斷機(jī)械加工制造行業(yè)競(jìng)爭(zhēng)力的核心內(nèi)容 [3]。目前，我國(guó)在 5 軸及 5 軸以上的聯(lián)動(dòng)數(shù)控系統(tǒng)研制和數(shù)控加工方法方面與世界先進(jìn)水平存在一定差距，這也成為制約我國(guó)機(jī)械加工行業(yè)深度發(fā)展的瓶頸問題。為此，該文以 5 軸聯(lián)動(dòng)的數(shù)控系統(tǒng)為研究對(duì)象，通過數(shù)學(xué)模型分析和控制過程研究，給出其在曲面加工中的具體應(yīng)用。
1、多軸數(shù)控系統(tǒng)位姿的數(shù)學(xué)模型
多軸聯(lián)動(dòng)的數(shù)控系統(tǒng)，其控制功能和加工效果實(shí)現(xiàn)的關(guān)鍵在于位置和姿態(tài)的準(zhǔn)確刻畫與合理動(dòng)態(tài)連接。為此，該文先以齊次坐標(biāo)的形式對(duì)多軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控系統(tǒng)的位置和姿態(tài)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模。
多軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控加工系統(tǒng)一系列動(dòng)作的完成，在三維空間中表現(xiàn)為各個(gè)關(guān)節(jié)、各個(gè)軸的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)和平移運(yùn)動(dòng)的累加效果。因此，要從數(shù)學(xué)角度刻畫多軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控系統(tǒng)，就依賴于對(duì)旋轉(zhuǎn)矩陣和平移矩陣的刻畫。
如果空間中任意一點(diǎn) A，通過平移變換變成 A' 點(diǎn)的位置，并且它在 x、y、z 這 3 個(gè)坐標(biāo)軸上分別平移了 a、b、c個(gè)單位，那么存在如公式（1）所示的平移關(guān)系。
如果空間中任意一點(diǎn) A，通過旋轉(zhuǎn)變換變成 A' 點(diǎn)的位置，并且它繞 z 旋轉(zhuǎn)的角度為 θ，那么存在如公式（2）所示的旋轉(zhuǎn)關(guān)系。
同理，還可分別得到任意一點(diǎn)繞 y 軸和繞 x 軸的旋轉(zhuǎn)矩陣，以及這 2 個(gè)矩陣的齊次表達(dá)。進(jìn)一步推廣這個(gè)做法，可以得到任意一點(diǎn)繞空間任意軸線的旋轉(zhuǎn)矩陣，它也將體現(xiàn)為繞 x、y、z 軸做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的組合形式。得到了空間任意一點(diǎn)位置變化的平移矩陣和旋轉(zhuǎn)矩陣，就可以建立這一點(diǎn)位置變化的數(shù)學(xué)模型。這樣的思路同樣適用于空間任意一個(gè)坐標(biāo)系和空間任意一個(gè)物體。多軸聯(lián)動(dòng)的數(shù)控加工過程就是承擔(dān)加工任務(wù)的操作端，進(jìn)行多個(gè)平移運(yùn)動(dòng)和繞多個(gè)軸線做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的組合效果。
假設(shè)多軸聯(lián)動(dòng)系統(tǒng)的末端操作裝置的位置變換如圖 1所示。如圖 1 所示，多軸聯(lián)動(dòng)系統(tǒng)的末端操作裝置一共進(jìn)行了2 次變換，一次是分別沿 x 軸和 y 軸進(jìn)行了 2 次平移運(yùn)動(dòng)，一次是繞 z 軸做了 90°的旋轉(zhuǎn)。
圖 1 多軸聯(lián)動(dòng)系統(tǒng)的末端操作裝置的位置變換
可見，有了上面的建模方法，就可以對(duì)多軸聯(lián)動(dòng)系統(tǒng)任意關(guān)節(jié)、任意動(dòng)作進(jìn)行平移運(yùn)動(dòng)和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的組合描述。
2、多軸數(shù)控系統(tǒng)的加工過程控制
能夠通過數(shù)學(xué)模型對(duì)多軸聯(lián)動(dòng)的數(shù)控系統(tǒng)進(jìn)行描述以后，如何設(shè)定數(shù)控程序，讓系統(tǒng)按照既定的路線完成加工任務(wù)，是整個(gè)數(shù)控過程的難點(diǎn)。該文為多軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控系統(tǒng)的加工過程設(shè)計(jì)了一個(gè)具有較好實(shí)時(shí)性的脈沖控制算法，簡(jiǎn)稱 RTPA（Real time pulse algorithm）算法。
數(shù)控加工的過程一般是通過插補(bǔ)算法來實(shí)現(xiàn)和完成的，而數(shù)控加工中的每個(gè)軸的控制是根據(jù)步進(jìn)電機(jī)的脈沖來實(shí)現(xiàn)的，這就需要形成插補(bǔ)過程和脈沖生成時(shí)序之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。但是，傳統(tǒng)的根據(jù)脈沖頻率進(jìn)行插補(bǔ)過程的設(shè)計(jì)的實(shí)時(shí)性并不理想。為此，該文從 V-F 變換算法（電壓 - 頻率）的角度出發(fā)，設(shè)計(jì)了一個(gè)新的具有更好實(shí)時(shí)性的脈沖生成算法。通過這個(gè)算法所產(chǎn)生的脈沖序列可實(shí)現(xiàn)對(duì)多軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控系統(tǒng)更有效的控制。
這個(gè)算法使用了比較器組件、計(jì)數(shù)器組件和生成器組件共同產(chǎn)生具有較好實(shí)時(shí)性的脈沖序列，其算法的原理框圖如圖 2 所示。
圖 2 多軸聯(lián)動(dòng)系統(tǒng) RTPA 控制算法的原理框圖
根據(jù)圖 2 可知，多軸聯(lián)動(dòng)系統(tǒng)某一關(guān)節(jié)或末端裝置的位移經(jīng)過采樣以后作為 RTPA 算法的輸入，采樣頻率是 f。采樣位移值輸入以后，與反饋支路上根據(jù)脈沖計(jì)數(shù)器形成的脈沖當(dāng)量進(jìn)行比較，二者比較之后的差異進(jìn)入脈沖生成器作為脈沖序列產(chǎn)生的判斷依據(jù)。脈沖生成器會(huì)形成 2 個(gè)輸出，分別是正向脈沖和反向脈沖，這也分別對(duì)應(yīng)于步進(jìn)電機(jī)的正轉(zhuǎn)和反轉(zhuǎn)。
對(duì)脈沖生成器產(chǎn)生正向脈沖還是反向脈沖的判斷，取決于輸入與反饋支路比較的累積誤差和設(shè)定域值（value）之間的比較，比較規(guī)則如下。規(guī)則一：如果輸入與反饋支路比較的累積誤差之和大于設(shè)定域值，則脈沖生成器生成正向脈沖并輸出。規(guī)則二：如果輸入與反饋支路比較的累積誤差之和小于設(shè)定域值的相反數(shù)，則脈沖生成器生成反向脈沖并輸出。
決定該文算法的關(guān)鍵參數(shù)還有位移作為輸入前的采樣頻率 f。為了判斷采樣頻率 f 對(duì) RTPA 算法性能的影響，該文分別設(shè)置采樣頻率為 5 kHz 和 20 kHz，繪制其位移響應(yīng)曲線和速度響應(yīng)曲線，結(jié)果如圖 3 所示。
圖 3 采樣頻率對(duì)多軸聯(lián)動(dòng)系統(tǒng)算法性能的影響
圖 3（a）圖左側(cè)代表了采樣頻率為 5kHz 時(shí) RTPA 算法的位移響應(yīng)曲線，右側(cè)代表了采樣頻率為 20kHz 時(shí) RTPA算法的位移響應(yīng)曲線 ；圖 3（b）圖左側(cè)代表了采樣頻率為20kHz 時(shí) RTPA 算法的速度響應(yīng)曲線，右側(cè)代表了采樣頻率為 20kHz 時(shí)，RTPA 算法的速度響應(yīng)曲線。
從圖 3（a）可以看出，采樣頻率越大，采樣周期越小，RTPA 算法的位移響應(yīng)速度越快。從左、右圖的對(duì)比可以看出，采樣頻率為 5kHz 時(shí)，RTPA 算法的位移響應(yīng)經(jīng)過 0.58s，多軸聯(lián)動(dòng)系統(tǒng)的實(shí)際位移才能和理想位移吻合 ；采樣頻率為 20kHz 時(shí)，RTPA 算法的位移響應(yīng)經(jīng)過 0.16s，多軸聯(lián)動(dòng)系統(tǒng)的實(shí)際位移就和理想位移吻合。這表明，采樣頻率為20kHz 時(shí)的位移響應(yīng)比采樣頻率為 5kHz 時(shí)的位移響應(yīng)足足快了 0.42s。
從圖 3（b）可以看出，采樣頻率越大，采樣周期越小，RTPA 算法的速度曲線響應(yīng)越快。從左、右圖的對(duì)比可以看出，采樣頻率為 5 kHz 時(shí)，RTPA 算法的速度響應(yīng)經(jīng)過 0.5 s，多軸聯(lián)動(dòng)系統(tǒng)的實(shí)際速度才能和理想速度吻合；采樣頻率為 20 kHz時(shí)，RTPA 算法的速度響應(yīng)經(jīng)過 0.13 s，多軸聯(lián)動(dòng)系統(tǒng)的實(shí)際速度就和理想速度吻合。這表明，采樣頻率為 20 kHz 時(shí)的速度響應(yīng)比采樣頻率為 5 kHz 時(shí)的速度響應(yīng)足足快了 0.37 s。
3、多軸數(shù)控系統(tǒng)的曲面加工仿真試驗(yàn)
在前面的工作中，分別針對(duì)多軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控系統(tǒng)進(jìn)行了位置姿態(tài)建模和 RTPA 控制算法設(shè)計(jì)，并通過關(guān)鍵參數(shù)的影響分析確定了多軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控系統(tǒng)的有效控制策略。接下來將進(jìn)行仿真試驗(yàn)，以驗(yàn)證該文所提出的多軸聯(lián)動(dòng)系統(tǒng)的 RTPA 算法控制性能。仿真試驗(yàn)選擇曲面加工作為多軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控系統(tǒng)的加工對(duì)象。曲面在各種加工單元中具有一定的復(fù)雜性，并且對(duì)控制算法有比較精細(xì)的要求。而整個(gè)曲面的加工完成是通過連續(xù)的曲線加工軌跡來完成的。該文要加工的曲面的仿真結(jié)果如圖 4 所示。
圖 4 該文要加工的曲面的仿真結(jié)果
從圖 4 可以看出，該文要加工的曲面是在 x 方向上形成軸向?qū)挾?、?y 方向上形成徑向?qū)挾鹊囊欢吻妫娴那拾霃絼t位于 z 軸方向。圖 4 中還給出了刀具的初始位置即起刀點(diǎn)，曲面上的平行曲線則表明在 RTPA 算法控制下的加工軌跡。
曲面的數(shù)控加工方法有很多種，例如基于軌跡生成參數(shù)的加工路線法、基于 CC 路徑的截面數(shù)據(jù)加工路線法以及基于路徑的截面加工路線法等。該文選擇了基于 CC 路徑的截面數(shù)據(jù)加工路線法，同時(shí)結(jié)合 Z 字形走刀完成加工。加工過程中，RTPA 算法在 x 軸方向上、y 軸方向上和 z軸方向上，根據(jù) RTPA 算法得到的位移和速度曲線的控制效果如圖 5 所示。
圖 5 RTPA 算法在 3 個(gè)方向上對(duì)位移和速度曲線的控制效果
從圖 5（a）中可以看出，RTPA 算法在 x 軸方向上對(duì)位移的控制形成了三角波的曲線形式。受到加工任務(wù)的限制，RTPA算法在 x 軸方向上的位移最大值為 0 mm，最小值接近 -150 mm的位置，位移曲線的三角波周期 4.17 s。RTPA 算法在 x 軸方向上對(duì)速度的控制形成了矩形方波的曲線形式，但因?yàn)榧庸み^程的影響出現(xiàn)了一定的抖動(dòng)。RTPA 算法在 x 軸方向上的速度最大值接近 80 mm/s，最小值接近 -80 mm/s，速度曲線的矩形方波周期 4.17 s。從圖 5（b）中可以看出，RTPA 算法在 y 軸方向上對(duì)位移的控制形成了階躍波的曲線形式。受到加工任務(wù)的限制，RTPA算法在 y 軸方向上的位移最大值為 0 mm，最小值接近 -6 mm的位置，位移曲線的階躍波周期 4.17 s。RTPA 算法在 y 軸方向上對(duì)速度的控制形成了脈沖波的形式。RTPA 算法在 y 軸方向上的速度最大值為 0 mm/s，最小值為 -10 mm/s，速度曲線的矩形方波周期 4.17 s。
從圖 5（c）中可以看出，RTPA 算法在 z 軸方向上對(duì)位移的控制形成了正弦半波的曲線形式。受到加工任務(wù)的限制，RTPA 算法在 z 軸方向上的位移最大值為 6.2 mm，最小值為 0 mm 的位置，位移曲線的正弦半波周期 2.08 s。RTPA算法在 z 軸方向上對(duì)速度的控制形成了鋸齒波的曲線形式。RTPA 算法在 z 軸方向上的速度最大值接近 15 mm/s，最小值接近 -15 mm/s，速度曲線的鋸齒波周期 2.08 s。
4、結(jié)論
該文對(duì)多軸聯(lián)動(dòng)的數(shù)控系統(tǒng)進(jìn)行了研究。首先，在齊次坐標(biāo)的形式下，對(duì)多軸聯(lián)動(dòng)系統(tǒng)任意關(guān)節(jié)處的位置和姿態(tài)變化進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，推導(dǎo)了平移矩陣和旋轉(zhuǎn)矩陣的產(chǎn)生過程。其次，基于比較器組件、計(jì)數(shù)器組件和生成器組件構(gòu)建了反饋形式的 RTPA 算法，用于多軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控系統(tǒng)加工過程中的實(shí)際控制，并對(duì)采樣頻率的影響進(jìn)行了分析。最后，以曲面仿真加工為例進(jìn)行了驗(yàn)證性試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果表明 ：該文采用的基于 CC路徑的截面數(shù)據(jù)加工路線法，同時(shí)結(jié)合 Z 字形走刀可以順利完成加工。同時(shí)，RTPA 算法在 3 個(gè)坐標(biāo)軸方向上對(duì)位移和速度都進(jìn)行了有效的控制。
